الدوال الزائدية

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية أو الدائرية. تشكل الدوال الاتية الأساس في الدوال الزائدية:

دالة الجيب الزائدي, sinh أو sh
جيب التمام الزائدي, cosh أو ch
الظل الزائدي, tanh أو th
كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:

معكوس الجيب الزائدي, asinh
معكوس جيب التمام الزائدي, acosh
معطوس الظل الزائدي, atanh
محتويات [أخفِ]
1 سبب التسمية
2 تعبيرات جبرية قياسية
3 علاقات مفيدة
4 دوال المعكوس في صور لوغاريتمية
5 المشتقات
6 تكاملات قياسية
7 تعابير متسلسلات تايلور
8 أوجه التشابه مع الدوال المثلثية
9 علاقاتها بالدوال الأسية
10 الدوال الزائدية للأعداد المركبة
11 تطبيقات الدوال الزائدية
12 إنظر أيضا


[عدل] سبب التسمية
تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا. كما نعلم من الدائرة, تمثل النقاط دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1), بالمثل فإن النقاط تشل النصف الأيمن من القطع الزائد. تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب, هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.

[عدل] تعبيرات جبرية قياسية

sinh, cosh و tanh
csch, sech و cothالدوال المثلثية هي:

الجيب الزائدي:

جيب التمام الزائدي:

الظل الزائدي:

ظل التمام الزائدي:

القاطع الزائدي:

قاطع التمام الزائدي:

حيث وحدة تخيلية معرفة بأنها .

يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة إيولر. لاحظ أنه من التعريف, تعني , ليس ; وبالمثل للداول الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

[عدل] علاقات مفيدة


وعليه:





يمكن ملاحظة أن و هي دوال زوجية; والأخريات هي دوال فردية.




الجيب الزائدي جيب التمام الزائدي يحقق المتطابقة:


وهي مشابهة لمتطابقة فيثاغورث.

الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية هي مسألة القيمة الحدية:


[عدل] دوال المعكوس في صور لوغاريتمية






[عدل] المشتقات

خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): \frac{d}{dx}\cosh(x) = \-sinh(x) \,













[عدل] تكاملات قياسية
مقال تفصيلي : قائمة تكاملات الدوال الزائدية










في التعابير السابقة, يدعى 'C بثابت التكامل.

[عدل] تعابير متسلسلات تايلور
من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة سلسلة تايلور:




(سلسلة لورنت)

(سلسلة لورنت)
حيث

هي عدد برنولي رقم n
هي عدد إيولر رقم n
[عدل] أوجه التشابه مع الدوال المثلثية
نقطة على القطع الزائد, x y = 1 بـ x > 1 تحدد مثلث زائدي, وفيه يكون الجانب المجاور للزاوية الزائدية مصحوبا بـcosh بينما العكلا مع sinh. لكن بما أن النقطة (1,1) على هذا القطع الزائد هي على مسافة 2√ من نقطة الأصل, ويكون ثابت التعامد ضروريا لتعريف cosh و sinh بدلالة أطوال المثلث الزائدي. وكما تعبر النقاط عن دائرة الوحدة, فإن النقاط تعبر عن وهذا بناء على القاعدة المثبتة:


والخاصية cosh t >= 1 لجميع قيم t.

الدوال الزائديه هي دوال دورية ذات دور مركب 2πi (πi للظل الزائدي وظل التمام الزائدي.

المتغير البارامتري t ليس زاوية دائرية, ولكنه زاوية زائدية والتي توضح ضعف المساحة بي المحور السيني والقطع الزائدي والخط المستقيم الواصل بين نقطة الأصل والنقطة على القطع الزائد.

الدالة cosh x هي دالة زوجية, متماثلة حول المحور y.

الدالة sinh x is an دالة فردية, أي أن -sinh x = sinh -x, و sinh 0 = 0.

في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة اوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام, وبتغيير

sine إلىsinh و cosine إلى cosh, وتبديل الإشارة في كل حد يحوي مضروب من 2, 6, 10, 14, ... sinh's. وينتج هذا على سبيل المثال نظريات الجمع.




صيغة مضاعف الزاوية



وصيغة نصف الزاوية

ملاحظة: هذا يقابل الجزء المعاكلا في الدائرة.
هذا يقابل الجزء المعاكلا في الدائرة مضروبا في -1.


يعطى اشتقاق sinh x بدلالة cosh x واشتقاق cosh x هو sinh x; وهذا مشابه للدوال المثلثية ولوأن الإشارة تختلف. أي أن , مشتق cos x هو −sin x .

تعطي دالة غودرماني علاقة مباشرة بين الدوال المثلثية والزائدية دون اللجوء إلى الأعداد المركبة.

رسم الدالة a*cosh x/a هو منحنى سلسلي, المنحنى الناتج من سلسلة منتظمة مرنة معلقة بشكل حر بتأثير الجاذبية.

[عدل] علاقاتها بالدوال الأسية
من تعريف الجيب الزائدي والتمام, يمكن اشتقاق المتطابقات التالية:


و


وهي تعابير مشابهة لتعابير الجيب وجيب التمام في المثلثات, بناء على صيغة ايولر كمجموع للأسات المركبة.

[عدل] الدوال الزائدية للأعداد المركبة
لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن هولومورفية.

وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:



وعليه:







دوال زائدية في المستوى المركب


[عدل] تطبيقات الدوال الزائدية
لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية, إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل, كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكاجميلا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.