عرف موضوع الإنشاء الهندسي منذ القدم، ولذا يسميه البعض الإنشاء الإقليدي. وهدفنا هنا ليس تناول تاريخه، وإنما نودّ التركيز على تقديم أهم النماذج والنظريات المتعلقة بالإنشاءات الهندسية، سيما تلك التي تتم بالمدور دون المسطرة أو بالمسطرة دون المدور.
كيف يتمّ الإنشاء الهندسي؟ إنه يتم بالمسطرة والمدور؟ يمكن تلخيص ذلك في الخطوات التالية:
1. إنشاء مستقيم يصل بين نقطتين معلومتين. يتم ذلك بالمسطرة.
2. إنشاء دائرة نصف قطرها معلوم، وكذا مركزها. يتم ذلك بالمدور.
3. تحديد تقاطع دائرتين مركزاهما معلومان، وكذا نصفا قطريهما. يتم ذلك بالمدور.
4. تحديد تقاطع دائرة ومستقيم معطى بنقطتين. يتم ذلك بالمدور والمسطرة.
5. تحديد تقاطع مستقيمين كل واحد منهما معطى بنقطتين. يتم ذلك بالمسطرة.
ومن المعلوم أن المسطرة لا تستخدم إلا لرسم الخطوط المستقيمة، فهي لا تستخدم في هذا المجال لقياس الأطوال مثلا.
أما المدور فهو أداة رسم الدوائر وأقواسها لا غير. ولا يجوز استخدام فتحة المدور مثلا لقياس أو نقل الأطوال.
وباختصار يمكن القول إن :
- المدور يفيدنا في تساوي المسافات بين نقاط، إذ أن جميع النقاط الواقعة على دائرة تبعد بنفس المسافة عن مركز الدائرة.
- المسطرة تفيدنا في وصل النقاط بخطوط مستقيمة، أي بتحديد كافة النقاط التي تقع على استقامة واحدة مع نقطتين معلومتين.
ذلك ما يسمى بالإنشاء الهندسي منذ عهد الإغريق. وبطبيعة الحال فإن لكل من الأدوات الهندسية الأخرى (الكوس والمنقلة، المسطرة المدرجة) دورا يؤديه في الرسم الهندسي، لكن استخدام هذه الأدوات في الإنشاء الهندسي غير مسموح به حتى إن سهّل علينا كثيرا إنجاز الرسومات وأراحنا من عناء البحث عن الأطوال وقياسات الزوايا.
ملاحظة
يسمح في بعض الإنشاءات الهندسية بأن يعطى نصف قطر دائرة بالمسافة بين نقطتين معلومتين على أن تتاح إمكانية رسم دائرة لها هذا نصف القطر ومركزها خارج النقطتين المعلومتين. هذا الأمر يعتبر تجاوزا لمفهوم الإنشائي الهندسي كما استخدمه الإغريق. ذلك أنهم كانوا يعتبرون أنه عندما ننقل نصف القطر بفتحة المدور لرسم الدائرة انطلاقا من مركز آخر فإن فتحة المدور قد تتغير دون أن نشعر وبذلك يتغير نصف القطر.
إنشاء محور قطعة مستقيمة 4
لنفصل هذا المثال البسيط : لتكن قطعة مستقيمة [XY]
1. ننشئ دائرتين (أو قوسي دائرتين) متساويتي نصف قطر مركزاهما في النقطتين X و Y على أن يكون القطر المشترك للدائرتين أكبر من طول القطعة[XY] . يضمن هذا الشرط وجود تقاطع في نقطتين للدائرتين.
2. تتقاطع الدائرتان (أو القوسان) في النقطتين A و B. نستخدم الآن المسطرة وننشئ المستقيم الذي يصل النقطتين A و. B هذا المستقيم هو محور القطعة [XY].
ملاحظة : النقطة M التي تمثل تقاطع المحور مع القطعة المستقيمة [XY] هي منتصف هذه القطعة. ومن ثم فهذا الإنشاء يعين أيضا منتصف قطعة مستقيمة معطاة.
-2إنشاء مستقيم يعامد مستقيما معلوما عند نقطة معلومة 4
نسمي المستقيم المعطى K و P النقطة الواقعة عليه التي ينبغي أن يمر بها المستقيم المطلوب إنشاؤه.
1. نرسم دائرة كيفية مركزها النقطة P فتقطع المستقيم K في نقطتين X و Y :
2. ننشئ دائرتين مركزاهما X و Y تلتقيان على الأقل في نقطة نسميها A :
3. المستقيم المطلوب هو المستقيم (AP) .
.3إنشاء مستقيم يعامد مستقيما معلوماK عند نقطة R لا تقع على K 4
لما كان هذا الإنشاء شبيها بالإنشاء السابق، نكتفي بتوضيح الأشكال الثلاثة المتوالية في الإنشاء :
المستقيم المطلوب هو (BR).
-4إنشاء منصف زاوية 4
نكتفي بتقديم الإنشاءات المتوالية:
المنصف المطلوب هو نصف المستقيم (PW).
-5إنشاء زاوية مساوية لزاوية معلومة 4
1. نسمي رأس الزاوية المعطاة A ، وليكن نصف مستقيم معطى نسمي طرفه D. المطلوب هو إنشاء نصف مستقيم طرفه في D بحيث تكون الزاوية المحصل عليها مساوية للزاوية المعطاة
2. ننشئ دائرة مركزها D تقطع نصف المستقيم المعطى في نقطة نسميها E ، وبنفس فتحة المدور نرسم قوس الدائرة ذات المركز A فيقطع هذا القوس ضلعي الزاوية في نقطتين نسميهما B و C.
3. ننشئ النقطة F المحصل عليها بتقاطع الدائرة ذات المركز E ونصف القطر BC مع القوس الذي سبق إنشاؤه (انظر الشكل)
4. الزاوية EDF المحصل عليها تساوي الزاوية المعطاةBAC .
-6إنشاء مستقيم يمر بنقطة معلومة ويوازي مستقيما معطى 4
1. نوضح الإنشاءات المتوالية حيث رمزنا بـ k للمستقيم المعطى وبـ P للنقطة المعلومة : نرسم مستقيما كيفيا يمر بالنقطة P فيقطع المستقيم k في نقطةQ .
2. ننشئ قوسي دائرتين لهما نفس نصف القطر، مركز الأولى في النقطة Q والثانية في النقطة P
3. لتكن المسافة بين نقطتي تقاطع القوس الأول مع المستقيمين k و(PQ) . نرسم (كما في الشكل) الدائرتين اللتين نصف قطريهما ومركزاهما نقطتي تقاطع القوسين المرسومين آنفا مع المستقيم (PQ) فنحصل على النقطة R المبيّنة في الشكل.
4. المستقيم (PR) هو المستقيم المطلوب.
-7قسمة قطعة مستقيمة معطاة إلى عدد معلوم من المرات 4
نطلب من القارئ أن يستخلص طريقة الإنشاء من الأشكال المتوالية التالية :
-8إنشاء المماسين لدائرة معطاة (مع مركزها) المارين من نقطة معلومة P خارج الدائرة. 4
استخلص خطوات الإنشاء من الأشكال التالية :
نلاحظ أن M هي منتصف القطعة [PC].
-9إنشاء مركز دائرة 4
الأشكال المتوالية المطلوبة في الإنشاء هي :
ملاحظة :
يمكننا أيضا الاعتماد على النتيجة التالية : تلتقي محاور المثلث في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث. ومن ثم يكفي اختيار 3 نقاط A ، B ، C من الدائرة وإنشاء محورين لضلعين من الأضلاع التي تشكلها تلك النقاط، فيكون المركز المطلوب هو نقطة تقاطع المحورين (المستقيمين الأزرقين في الشكل الموالي).
-10إنشاء 3 دوائر متماسة (من الخارج) أنصاف أقطارها معلومة 4
تكون دائرتان متماستين (من الخارج) إذا كانت المسافة بين مركزيهما تساوي مجموع نصفي القطرين. وبناء على ذلك يتم الإنشاء المطلوب كما يلي :
نسمي أنصاف الأقطار المعطاة r1 و r2 و r3 وننشئ دائرة نصف قطرها r1 ونسمي مركزه O1 . ثم نختار نقطة O2 تبعد بمسافة r1+r2 عن O1 ونرسم الدائرة ذات المركز O2 ونصف القطر r2. ستكون هذه الدائرة والدائرة الأولى متماستين.
نعين النقطة O3 التي تمثل نقطة تقاطع الدائرة ذات المركز O1 ونصف القطر r1+r3 والدائرة ذات المركز O2 ونصف القطرr2+r3 .
أخيرا نرسم الدائرة ذات المركز O3 ونصف القطرr3. ومن ثم نحصل على الدائرة الثالثة المماسة للدائرتين الأوليين.
