تعريف
ليكن K حقل[م]. الجذر النوني للوحدة the nth root of unity هو عنصر بحيث . إذا كان n هو أصغر صحيح موجب بحيث فإننا نقول أن جذر نوني بدائي للوحدة nth primitive root of unity.
إذا جذر الوحدة النوني في حقل K هو باختصار جذر الحدودية . من النظرية[م] الأساسية في الجبر لها n جذرا في حقل الأعداد المركبة مع أخذ الجذور المركبة في الاعتبار لكن هذا ليس قانونا في كل الحقول فقد يكون عدد الجذور أقل من n كما يتضح من الأمثله التالية لكن لا يمكن أن يزيد عن n في أي حقل.
أمثلة على جذور الوحدة
1) في حقل الأعداد الحقيقية فإن هما فقط الجذريين المحتملة لأي حدودية . في حالة فإن جذرا ثاني للوحدة لكنه غير بدائي بينما جذر ثاني بدائي. أما في حالة فإن هو فقط الجذر الثالث للوحدة في وهو ليس بدائي.
2) في حقل الأعداد المركبة فإن جذر نوني للعدد 1 لأن
بما أن جميع مختلفة (وهي تمثل جميع الجذور النونية للعدد 1) فإن n هو أصغر صحيح موجب بحيث وعليه فإن جذر نوني بدائي للوحدة. هندسيا هذه الجذور النونية للوحدة تشكل في المستوى المركب رؤوس مضلع منتظم محاط بدائرة[م] نصف قطرها الوحدة.
بشكل عام في حقل الأعداد المركبة:
جميع الجذور النونية البدائية للوحدة تكون على الصورة حيث .
لأنه إذا كان قاسم مشترك للعددين m,n فإن وبالتالي لأن mq مضاعف للعدد n. إذا غير بدائي لأن . عكلايا إذا كان وكان بحيث فاكتب حيث r باقي قسمة mq على n. إذا
بما أن جذر بدائي فإن وبالتالي وهذا يقتضي أن n يقسم q. إذا .
المجموعة U لكل الجذور النونية للوحدة في تشكل زمرة[م] جزئية دائرية من الزمرة الضربية للحقل.
الإثبات سهل ومباشر حيث لكل فإن
وأي جذر نوني بدائي للوحدة يولد هذه الزمرة.
مراجع
ALGEBRA, Thomas W. Hungerford
http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html
ليكن K حقل[م]. الجذر النوني للوحدة the nth root of unity هو عنصر بحيث . إذا كان n هو أصغر صحيح موجب بحيث فإننا نقول أن جذر نوني بدائي للوحدة nth primitive root of unity.
إذا جذر الوحدة النوني في حقل K هو باختصار جذر الحدودية . من النظرية[م] الأساسية في الجبر لها n جذرا في حقل الأعداد المركبة مع أخذ الجذور المركبة في الاعتبار لكن هذا ليس قانونا في كل الحقول فقد يكون عدد الجذور أقل من n كما يتضح من الأمثله التالية لكن لا يمكن أن يزيد عن n في أي حقل.
أمثلة على جذور الوحدة
1) في حقل الأعداد الحقيقية فإن هما فقط الجذريين المحتملة لأي حدودية . في حالة فإن جذرا ثاني للوحدة لكنه غير بدائي بينما جذر ثاني بدائي. أما في حالة فإن هو فقط الجذر الثالث للوحدة في وهو ليس بدائي.
2) في حقل الأعداد المركبة فإن جذر نوني للعدد 1 لأن
بما أن جميع مختلفة (وهي تمثل جميع الجذور النونية للعدد 1) فإن n هو أصغر صحيح موجب بحيث وعليه فإن جذر نوني بدائي للوحدة. هندسيا هذه الجذور النونية للوحدة تشكل في المستوى المركب رؤوس مضلع منتظم محاط بدائرة[م] نصف قطرها الوحدة.
بشكل عام في حقل الأعداد المركبة:
جميع الجذور النونية البدائية للوحدة تكون على الصورة حيث .
لأنه إذا كان قاسم مشترك للعددين m,n فإن وبالتالي لأن mq مضاعف للعدد n. إذا غير بدائي لأن . عكلايا إذا كان وكان بحيث فاكتب حيث r باقي قسمة mq على n. إذا
بما أن جذر بدائي فإن وبالتالي وهذا يقتضي أن n يقسم q. إذا .
المجموعة U لكل الجذور النونية للوحدة في تشكل زمرة[م] جزئية دائرية من الزمرة الضربية للحقل.
الإثبات سهل ومباشر حيث لكل فإن
وأي جذر نوني بدائي للوحدة يولد هذه الزمرة.
مراجع
ALGEBRA, Thomas W. Hungerford
http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html
