الجذر التربيعي للعدد المركب The Square Root of Complex Number
الجذر التربيعي للعدد المركب z هو العدد المركب w الذي يحقق المعادلة [tex]w^2 = z[/tex] ويرمز للجذر التربيعي بالرمز [tex]\sqrt z [/tex].
حسب النظرية[م] الأساسية للجبر فإن المعادلة [tex]w^2 = z[/tex] لها حلان (جذران) في مجموعة الأعداد المركبة. إذا كان w جذرا تربيعيا للعدد z فإن نظيره الجمعي -w جذرا تربيعيا أيضا وذلك لأن [tex]( - w)^2 = w^2 = z[/tex].
حقيقة 1: إذا كان z عدد مركب بحيث [tex]r = \left| z \right| = \sqrt {a^2 + b^2 } [/tex] فإن الجذرين التربيعيين له يعطيان بالعلاقة
[tex]
\sqrt {a + ib} = \pm \,\,\left( {\sqrt {\frac{{r + a}}{2}} + i\sin b\,\,\sqrt {\frac{{r - a}}{2}} } \right)
[/tex]
البرهان: افرض أن [tex]w = x + iy[/tex] جذر تربيعي للعدد [tex]z = a + ib[/tex]. إذا كان [tex]b = 0[/tex] فالنتيجة[م] واضحة لذلك افرض أن [tex]b \ne 0[/tex]. إذا
[tex](x + iy)^2 = a + ib[/tex]
بنشر المقدار المربع[م] ومقارنة الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في كلا الطرفين نصل إلى أن
[tex]
\begin{array}{l}
x^2 - y^2 = a \\
2xy = b \\
\end{array}
[/tex]
بتربيع المعادلة الثانية والتعويض منها في المعادلة الأولى عن[tex]y^2 [/tex] والترتيب نجد أن
[tex]
4x^4 - 4ax^2 - b^2 = 0
[/tex]
وهذه معادلة من الدرجة الثانية في [tex]x^2 [/tex] تحل بقانون معادلة الدرجة الثانية وبالتالي
[tex]
x^2 = \frac{{4a \pm \sqrt {16a^2 + 16b^2 } }}{8} = \frac{{a \pm \sqrt {a^2 + b^2 } }}{2}
[/tex]
بما أن[tex]x^2 [/tex] غير سالب نهمل الإشارة السالبة لأن [tex]\sqrt {a^2 + b^2 } > a[/tex]. إذا
[tex]
x^2 = \frac{{a + \sqrt {a^2 + b^2 } }}{2} = \frac{{a + r}}{2}
[/tex]
إذا القيمة الموجبة للعدد الحقيقي x هي
[tex]x = \sqrt {\frac{{r + a}}{2}} [/tex]
اقسم المعادلة[tex]2xy = b[/tex] على 2x والتعويض عن x والضرب في مرافق الجذر الناتج.
[tex]
y = \frac{b}{{2x}} = \frac{b}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} = \frac{b}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} \times \frac{{\sqrt {r - a} }}{{\sqrt {r - a} }} = \frac{{b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r^2 - a^2 } }}
[/tex]
[tex]
y = \frac{b}{{2x}} = \frac{{ \pm b}}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} = \frac{{ \pm b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} \sqrt {r - a} }} = \frac{{ \pm b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r^2 - a^2 } }} = \pm \frac{b}{{\left| b \right|}}\sqrt {\frac{{r - a}}{2}}
[/tex]
إذا
[tex]
y = \pm {\mathop{\rm sgn}} b\sqrt {\frac{{r - a}}{2}}
[/tex]
حيث [tex]{\mathop{\rm sgn}} (b)[/tex] تعني إشارة العدد b. إذا
[tex]
\sqrt {a + ib} = \pm \,\,\left( {\sqrt {\frac{{r + a}}{2}} + i\sin b\,\,\sqrt {\frac{{r - a}}{2}} } \right)
[/tex]
الصورة المثلثية لجذر العدد المركب
يمكن الوصول لقانون أخر لحساب الجذر التربيعي من خلال الصورة المثلثية للعد المركب. إذا كتبنا العدد المركب z بالصورة المثلثية
[tex]z = r(\cos \theta + i\sin \theta )[/tex]
حيث r هي مقياس العدد المركب و [tex]\theta [/tex] سعة أو زاوية[م] العدد المركب . من نظرية ديموافر
[tex]\left( {\sqrt r \left( {\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2}} \right)} \right)^2 = r(\cos \theta + i\sin \theta )[/tex]
من هنا نستنتج وبسرعة أحد الجذور التربيعيه للعدد z وحيث الجذران متناظران جمعيا فإن
[tex]\sqrt {a + ib} = \pm \sqrt r \left( {\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2}} \right)[/tex]
بما أن [tex]\theta = \tan ^{ - 1} \frac{b}{a}[/tex] فإن هذا القانون يمكن كتابته بشكل آخر بدلالة العدد المركب [tex]a + ib[/tex] , كاتالي
[tex]\sqrt {a + ib} = \pm (a^2 + b^2 )^{1/2} \left( {\cos \left( {\frac{1}{2}\tan ^{ - 1} \frac{b}{a}} \right) + i\sin \left( {\frac{1}{2}\tan ^{ - 1} \frac{b}{a}} \right)} \right)[/tex
الجذر التربيعي للعدد المركب z هو العدد المركب w الذي يحقق المعادلة [tex]w^2 = z[/tex] ويرمز للجذر التربيعي بالرمز [tex]\sqrt z [/tex].
حسب النظرية[م] الأساسية للجبر فإن المعادلة [tex]w^2 = z[/tex] لها حلان (جذران) في مجموعة الأعداد المركبة. إذا كان w جذرا تربيعيا للعدد z فإن نظيره الجمعي -w جذرا تربيعيا أيضا وذلك لأن [tex]( - w)^2 = w^2 = z[/tex].
حقيقة 1: إذا كان z عدد مركب بحيث [tex]r = \left| z \right| = \sqrt {a^2 + b^2 } [/tex] فإن الجذرين التربيعيين له يعطيان بالعلاقة
[tex]
\sqrt {a + ib} = \pm \,\,\left( {\sqrt {\frac{{r + a}}{2}} + i\sin b\,\,\sqrt {\frac{{r - a}}{2}} } \right)
[/tex]
البرهان: افرض أن [tex]w = x + iy[/tex] جذر تربيعي للعدد [tex]z = a + ib[/tex]. إذا كان [tex]b = 0[/tex] فالنتيجة[م] واضحة لذلك افرض أن [tex]b \ne 0[/tex]. إذا
[tex](x + iy)^2 = a + ib[/tex]
بنشر المقدار المربع[م] ومقارنة الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في كلا الطرفين نصل إلى أن
[tex]
\begin{array}{l}
x^2 - y^2 = a \\
2xy = b \\
\end{array}
[/tex]
بتربيع المعادلة الثانية والتعويض منها في المعادلة الأولى عن[tex]y^2 [/tex] والترتيب نجد أن
[tex]
4x^4 - 4ax^2 - b^2 = 0
[/tex]
وهذه معادلة من الدرجة الثانية في [tex]x^2 [/tex] تحل بقانون معادلة الدرجة الثانية وبالتالي
[tex]
x^2 = \frac{{4a \pm \sqrt {16a^2 + 16b^2 } }}{8} = \frac{{a \pm \sqrt {a^2 + b^2 } }}{2}
[/tex]
بما أن[tex]x^2 [/tex] غير سالب نهمل الإشارة السالبة لأن [tex]\sqrt {a^2 + b^2 } > a[/tex]. إذا
[tex]
x^2 = \frac{{a + \sqrt {a^2 + b^2 } }}{2} = \frac{{a + r}}{2}
[/tex]
إذا القيمة الموجبة للعدد الحقيقي x هي
[tex]x = \sqrt {\frac{{r + a}}{2}} [/tex]
اقسم المعادلة[tex]2xy = b[/tex] على 2x والتعويض عن x والضرب في مرافق الجذر الناتج.
[tex]
y = \frac{b}{{2x}} = \frac{b}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} = \frac{b}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} \times \frac{{\sqrt {r - a} }}{{\sqrt {r - a} }} = \frac{{b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r^2 - a^2 } }}
[/tex]
[tex]
y = \frac{b}{{2x}} = \frac{{ \pm b}}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} = \frac{{ \pm b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} \sqrt {r - a} }} = \frac{{ \pm b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r^2 - a^2 } }} = \pm \frac{b}{{\left| b \right|}}\sqrt {\frac{{r - a}}{2}}
[/tex]
إذا
[tex]
y = \pm {\mathop{\rm sgn}} b\sqrt {\frac{{r - a}}{2}}
[/tex]
حيث [tex]{\mathop{\rm sgn}} (b)[/tex] تعني إشارة العدد b. إذا
[tex]
\sqrt {a + ib} = \pm \,\,\left( {\sqrt {\frac{{r + a}}{2}} + i\sin b\,\,\sqrt {\frac{{r - a}}{2}} } \right)
[/tex]
الصورة المثلثية لجذر العدد المركب
يمكن الوصول لقانون أخر لحساب الجذر التربيعي من خلال الصورة المثلثية للعد المركب. إذا كتبنا العدد المركب z بالصورة المثلثية
[tex]z = r(\cos \theta + i\sin \theta )[/tex]
حيث r هي مقياس العدد المركب و [tex]\theta [/tex] سعة أو زاوية[م] العدد المركب . من نظرية ديموافر
[tex]\left( {\sqrt r \left( {\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2}} \right)} \right)^2 = r(\cos \theta + i\sin \theta )[/tex]
من هنا نستنتج وبسرعة أحد الجذور التربيعيه للعدد z وحيث الجذران متناظران جمعيا فإن
[tex]\sqrt {a + ib} = \pm \sqrt r \left( {\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2}} \right)[/tex]
بما أن [tex]\theta = \tan ^{ - 1} \frac{b}{a}[/tex] فإن هذا القانون يمكن كتابته بشكل آخر بدلالة العدد المركب [tex]a + ib[/tex] , كاتالي
[tex]\sqrt {a + ib} = \pm (a^2 + b^2 )^{1/2} \left( {\cos \left( {\frac{1}{2}\tan ^{ - 1} \frac{b}{a}} \right) + i\sin \left( {\frac{1}{2}\tan ^{ - 1} \frac{b}{a}} \right)} \right)[/tex
