تدريب ( ص 197 ) :
جذع هرم منتظم ارتفاعه 4 وكل وجه فيه نصف مسدس منتظم تام , احسب حجمه ومساحة سطحه الكلي في كل من
الحالتين : 1 ) جذع الهرم رباعي .
2 ) جذع الهرم ثلاثي .
هل يمكن أن يكون الجذع السابق سداسيا" ؟ علل .
1 ) طول ضلع القاعدة الصغرى = طول حرف جانبي = a , فيكون طول ضلع القاعدة الكبرى = 2 a .
2 ) طول ضلع القاعدة الصغرى = طول حرف جانبي = a , فيكون طول ضلع القاعدة الكبرى = 2 a .
تدريب ( ص 200 ) :
مخروط مساحة سطحه الجانبي تساوي ضعفي مساحة قاعدته :
1 ) احسب زاوية ميل مولده على مستوي قاعدته .
2 ) احسب حجم المخروط ومساحة سطحه الكلي بدلالة نصف قطر قاعدته .
تدريب ( ص 205 ) :
1 – المقطع المحوري لمخروط فيه ضلعان متعامدان ومساحته 18 احسب حجم المخروط ومساحة سطحه الكلي .
2 – أوجد حجم جذع مخروط إذا علمت أن قاعدته الصغرى تمس داخلا" أضلاع أحد أوجه مكعب طول حرفه 4
وقاعدته الكبرى تمر من رؤوس الوجه المقابل للوجه المذكور في المكعب .
[ 1 ] هرم مساحة قاعدته 900 cm2 قطع بمستويين يوازيان قاعدته بحيث يقسم ارتفاع الهرم إلى ثلاثة أجزاء متساوية
1 ) احسب مساحة كل من المقطعين الحاصلين .
2 ) برهن أن نسبة حجم جذع الهرم المحدد بالمقطعين السابقين إلى حجم الهرم الأصلي تساوي .
[ 2 ] هرم ثلاثي منتظم طول ضلع قاعدته وطول حرفه الجانبي
1 ) احسب ارتفاع هذا الهرم وعامده .
2 ) احسب حجمه ومساحة سطحه الكلي .
3 ) احسب بعد أحد رؤوس القاعدة عن الوجه المقابل لها .
بعد أي نقطة عن الوجه المقابل = طول العمود من النقطة على ارتفاع الوجه المقابل ( لأن الهرم منتظم )
لنحسب بعد الرأس A عن الوجه PBC , من المثلث APE نجد :
طريقة ثانية : نعتبر النقطة رأس للهرم فيكون الوجه المقابل فاعدة الهرم وارتفاعه هو بعد النقطة عن الوجه المقابل :
[ 3 ] جذع هرم منتظم ارتفاعه 4 , قاعدته الكبرى مربع , طول ضلعه 8 والصغرى مربع , طول ضلعه 2 .
1 ) احسب عامد جذع الهرم ومساحته الكلية .
2 ) احسب حجم جذع الهرم .
3 ) احسب ارتفاع وعامد الهرم الذي اقتطع منه الجذع المفروض واحسب كلا" من مساحته الكلية وحجمه .
[ 4 ] هرم قاعدته مستطيل مساحته ( 1 cm2 ) , وجهان من أوجهه الجانبية يعامدان مستوي القاعدة والوجهان الآخران
أحدهما يميل على مستوي القاعدة بزاوية ( ) والآخر يميل بزاوية ( ) .
احسب ارتفاع الهرم وحجمه ومساحة سطحه الكلي .
إذن : PA ارتفاع الهرم المفروض .
الزاوية بين مستوي الوجه PBC والقاعدة هي الزاوية بين العمودين
على فصلهما المشترك BC أي : PBA = 60° حيث AB < AD
الزاوية بين مستوي الوجه PDC والقاعدة هي الزاوية بين العمودين
على فصلهما المشترك DC أي : PDA = 30° حيث AB < AD
[ 5 ] هرم سداسي منتظم ارتفاعه 8 وطول ضلع قاعدته 6 .
1 ) احسب حجم الهرم ومساحة سطحه الكلي .
2 ) نقطع الهرم بمستو ٍ يوازي قاعدته ويبعد عن رأس الهرم مسافة ( x ) . عين x كي يكون حجم جذع الهرم الناتج
مساويا" من حجم الهرم الأصلي .
[ 6 ] P- ABC رباعي وجوه فيه PA = PB = PC = 4 , المطلوب
1 ) احسب أطوال أضلاع المثلث ABC وعين نوعه .
2 ) عين مرتسم P على المستوي ( ABC ) واحسب الحجم والمساحة الكلية لرباعي الوجوه المفروض .
3 ) احسب حجم المخروط الذي رأسه P وقاعدته الدائرة المارة برؤوس المثلث ABC واحسب مساحته الكلية .
المثلث PAB متساوي الساقين زاويته الرأسية فهو متساوي الأضلاع أي : AB = 4
المثلث PBC قائم ومتساوي الساقين أي :
المثلث PAC متساوي الساقين , نطبق علاقة التجيبات :
نلاحظ أن :
أي : وحسب عكلا نظرية فيثاغورث يكون المثلث ABC قائم الزاوية في B .
P متساوية البعد عن A , B , C فهي تقع على محور تناظر المثلث ABC فمرتسمها O منتصف الوتر
[ 7 ] مخروط دوراني قائم ارتفاعه 12 , قطع بمستو ٍ يمر من رأسه ويقطع قاعدته وفق قطعة مستقيمة بحيث بعد مركز
القاعدة عن هذه القطعة يساوي 4 , إذا علمت أن مساحة المقطع الحاصل تساوي .
1 ) احسب نصف قطر قاعدة المخروط وطول مولده .
2 ) احسب حجم المخروط ومساحته الكلية .
[ 8 ] جذع مخروط نصفا قطري قاعدتيه 4 و 10 قطع بمستويين يوازيان مستويي قاعدتيه ويقسمانه إلى ثلاثة جذوع
متساوية الارتفاع .
1 ) احسب نصف قطر كل من المقطعين الحاصلين .
2 ) احسب نسبة حجم كل من الجذوع الثلاثة المتساوية الارتفاع إلى حجم جذع المخروط الأصلي بأبسط ما يمكن .
[ 9 ] ABCD معين طول ضلعه 6 , قياس زاويته A يساوي 60 ° , ∆ مستقيم يمر من A موازيا" القطر BD
ندور المعين دورة كاملة حول ∆ .
احسب مساحة سطح المجسم الناتج عن الدوران وحجم هذا المجسم .
[ AD ] , [ AB ] يولدان سطحين جانبيين لمخروطين طبوقين .
طول مولد كل منهما L = 6 وارتفاع كل منهما h ونصف قطر قاعدة كل منهما r .
[ CB ] , [ CD ] يولدان سطحين جانبيين لجذعي مخروطين طبوقين .
طول مولد كل منهما L = 6 وارتفاع كل منهما h ونصف قطر القاعدة الصغرى r والكبرى R .
