معادلة الخط المستقيم بمعرفة نقطتين منه
لإيجاد معادلةمستقيم يمر بالنقطتين : ( س1 ، ص1 ) ، ( س2 ، ص2 ) نقوم بالتعويض في القانون التالي :
( ص1 - ص2 ) ÷ ( س1 - س2 ) = ( ص - ص1 ) ÷ ( س - س1 )
دعنا الآن نقوم بحل المثال الذي ذكرناه في أول حديثنا عن معادلة المستقيم وهو :
أ = ( 2 ، 1 ) ، ب = ( 3 ، 4 )
نقوم بالتعويض في القانون السابق :
نجد أن : ( 1 - 4 ) ÷ ( 2 - 3 ) = ( ص - 1 ) ÷ ( س - 2 )
يعطينا : ( - 3 ) ÷ ( - 1 ) = ( ص - 1 ) ÷ ( س - 2 )
وضرب الوسطين = ضرب الطرفين
ص - 1 = 3 س - 6
ص - 3 س + 5 = 0
المعادلة السابقة هي : -0.6 س + 0.2 ص + 1 = 0
هل تختلف المعادلتان ؟ وضح ذلك .
لوقسمنا المعادلة : -0.6 س + 0.2 ص + 1 = 0 على 0.2
نحصل على : ص - 3 س+ 5 = 0
أذن لا يوجد اختلاف بين المعادلتين ( ما أجمل الرياضيات )
وهناك طريقة أخرى للحل وهي التعويض في الصورة التالية للمستقيم :
ص = أ س + ب
وهي معادلة مستقيم بمعرفة ميله ( أ ) والجزء المقطوع من محور ص
بالتعويض عن النقطتين نجد أن :
معادلة ( 1 ) : 1 = 2 أ + ب
معادلة ( 2 ) : 4 = 3 أ + ب
بضرب المعادلة ( 1 ) × - 1
نجد أن :
معادلة ( 1 ) : - 1 = - 2 أ - ب
معادلة ( 2 ) : 4 = 3 أ + ب
بالجمع نجد أن : 3 = أ
بالتعويض في ( 1 ) نجد أن : 1 = 6 + ب
ب = - 5
المعادلة هي : ص = 3 س - 5
ص - 3 س + 5 = 0
وأنت الآن عزيزي الطالب مخير في إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطتين وأحبذ لك الطريقة الثانية ( استخدام القانون )
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة مستقيم بمعرفة ميله ونقطة منه
لإيجاد معادلة مستقيم يمر بالنقطة ( س1 ، ص1 ) وميله هو م نستخدم القانون التالي :
( ص - ص1 ) = م ( س - س1 )
مثال ( 4 - 13) كتاب الطالب للصف الأول الثانوي ص172 جـ1
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 1 ، 2 ) بميل -3
الحل :
نقوم بالتعويض في القانون السابق نجد أن :
المعادلةهي : ( ص - 2 ) = - 3 ( س - 1 )
يعطينا : ( ص - 2 ) = - 3 س +3
ص + 3 س -5 =0
لاحظ عزيزي الطالب أن كتاب الطالب قام بحل المثال باستخدام القاعدة السابقة :
ص = أ س + ب
والآن ماعليك إلا تحميل حلول التمارين من : 24 إلى 29
الفقرات من : 24 إلى 29
اضغط هنا للتحميل
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة مستقيم بمعرفة نقطة تقع عليه ومستقيم موازي له
ابني الطالب العزيز هنا قاعدة ينبغي عليك تذكرها ألا وهي :
ميل المستقيم المراد إيجاد معادلته = ميل المستقيم الموازي
ثم نقوم بتطبيق الفقرة السابقة [ معرفة ميل ونقطة ]
مثال :تمرين ( 46 ) ص 178 من كتاب الطالب للصف الأول الثانوي جـ1
ل يوازي المستقيم 2 س - 3 ص = 6 ويمر بالنقطة ( 7 ، 2 )
في هذه الحالةعزيزي الطالب ينبغي التنبيه إلى كيفية استنتاج ميل مستقيم ما من خلال معرفة معادلته وهو باستخدام القاعدة التالية :
- معامل س ÷ معامل ص = ميل المستقيم ( بشرط أن يكون س وَ ص في طرف واحد )
في المعادلة السابقة نجد أن :
ميل المستقيم المعطى = ( - 2 ) ÷ ( - 3 )
ميل المستقيم = 2/3
نعوض في القانون السابق :
( ص - 2 ) = 2/3 ( س - 7 )
ص - 2 = 2/3 س - 14/3
ص - 2/3 س -25/14 = 0
مثال آخر :
أوجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ( 2 ، -5 ) ويوازي المستقيم : 2 ص = - 8 س +4
الحل : ميل المستقيم المعطى = - معامل س ÷ معامل ص
نضع أولاً المتغيرين : س ، ص في طرف واحد :
كالتالي : 2 ص + 8 س = 4
أذن ميل المستقيم يكون = ( - 8 ) ÷ 2 = - 4
ميل المستقيم = - 4
معادلة المستقيم هي :
( ص + 5 ) = - 4 ( س - 2 )
ص + 5 = - 4 س + 8
ص + 4 س - 3 = 0
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة مستقيم بمعرفة نقطة تقع عليه ومستقيم عمودي عليه
بالمثل يوجد هنا قاعدة ينبغي عليك عزيزي الطالب تذكرها ألا وهي :
ميل المستقيم × ميل المستقيم العمودي عليه = -1
ثم نقوم بالتعويض في القاعدة الموجودة في الفقرة السابقة [ ميل ونقطة ]
مثال :
أوجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ( -2 ، 1 ) وعمودي على
المستقيم : 2ص-4س+1=0
الحل :
ميل المستقيم المعطى = 4 ÷ 2 = 2
ميل المستقيم العمودي عليه = -½ = -0.5
بالتعويض في القانون المشار إليه نجد أن :
( ص - 1 ) = - 0.5 ( س + 2 )
ص - 1 = - 0.5 س - 1
ص + 0.5 س = 0
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة مستقيم بمعرفة كلٍ من الجزء المقطوع من المحورين : السيني وَ الصادي
عزيزي المعلم وابني الطالب دعنا نبدأ بمثال في هذه الحالة بقصد التنوع لأن البقاء على نمط واحد يورث البلادة من هذا الشيء ولذلك :
مثال :
أوجد معادلة المستقيم الذي يقطع من محور السينات 3 ومن محور الصادات -2
الحل :
من المعلمين من يعتبره مستقيم يمر بالنقطتين : ( 3 ، 0 ) ، ( 0 ، - 2 )
ويطبق القاعدة الأولى في هذا الدرس وهي :
بالتعويض : ( 0 + 2 ) ÷ ( 3 - 0 ) = ( ص - 0 ) ÷ ( س - 3 )
يعطينا : 2/3 = ص ÷ ( س -3 )
ويعطي : 3 ص = 2 س - 6
المعادلة هي : 3 ص - 2 س + 6 = 0
وبعض المعلمين يستخدم القانون التالي :
( س ÷ أ ) + ( ص ÷ ب ) = 1
حيث أ : الجزء المقطوع من محور س ، ب : الجزء المقطوع من محور ص
الآن نريد حل المثال السابق :
( س ÷ 3 ) + ( ص ÷ ( -2) ) = 1
( س ÷ 3 ) - ( ص ÷ 2 ) = 1
بتوحيد المقامات : ( 2 س - 3 ص ) ÷ 6 = 1
ضرب الوسطين = ضرب الطرفين
يعطينا : 2 س - 3 ص = 6
وعليه فالمعادلة هي : 2 س - 3 ص - 6 = 0
بـ× -1 نجد أن : 3 ص - 2 س + 6 = 0 ( وهي المعادلة السابقة نفسها )
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة المستقيمين الموازيين لمحوري الأحداثيات : السيني و الصادي
معادلة محور السينات هي : ص = أ ( حيث أ الجزء المقطوع من محور الصادات )
معادلة محور الصادات هي : س = أ ( حيث أ الجزء المقطوع من محور السينات )
لإيجاد معادلةمستقيم يمر بالنقطتين : ( س1 ، ص1 ) ، ( س2 ، ص2 ) نقوم بالتعويض في القانون التالي :
( ص1 - ص2 ) ÷ ( س1 - س2 ) = ( ص - ص1 ) ÷ ( س - س1 )
دعنا الآن نقوم بحل المثال الذي ذكرناه في أول حديثنا عن معادلة المستقيم وهو :
أ = ( 2 ، 1 ) ، ب = ( 3 ، 4 )
نقوم بالتعويض في القانون السابق :
نجد أن : ( 1 - 4 ) ÷ ( 2 - 3 ) = ( ص - 1 ) ÷ ( س - 2 )
يعطينا : ( - 3 ) ÷ ( - 1 ) = ( ص - 1 ) ÷ ( س - 2 )
وضرب الوسطين = ضرب الطرفين
ص - 1 = 3 س - 6
ص - 3 س + 5 = 0
المعادلة السابقة هي : -0.6 س + 0.2 ص + 1 = 0
هل تختلف المعادلتان ؟ وضح ذلك .
لوقسمنا المعادلة : -0.6 س + 0.2 ص + 1 = 0 على 0.2
نحصل على : ص - 3 س+ 5 = 0
أذن لا يوجد اختلاف بين المعادلتين ( ما أجمل الرياضيات )
وهناك طريقة أخرى للحل وهي التعويض في الصورة التالية للمستقيم :
ص = أ س + ب
وهي معادلة مستقيم بمعرفة ميله ( أ ) والجزء المقطوع من محور ص
بالتعويض عن النقطتين نجد أن :
معادلة ( 1 ) : 1 = 2 أ + ب
معادلة ( 2 ) : 4 = 3 أ + ب
بضرب المعادلة ( 1 ) × - 1
نجد أن :
معادلة ( 1 ) : - 1 = - 2 أ - ب
معادلة ( 2 ) : 4 = 3 أ + ب
بالجمع نجد أن : 3 = أ
بالتعويض في ( 1 ) نجد أن : 1 = 6 + ب
ب = - 5
المعادلة هي : ص = 3 س - 5
ص - 3 س + 5 = 0
وأنت الآن عزيزي الطالب مخير في إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطتين وأحبذ لك الطريقة الثانية ( استخدام القانون )
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة مستقيم بمعرفة ميله ونقطة منه
لإيجاد معادلة مستقيم يمر بالنقطة ( س1 ، ص1 ) وميله هو م نستخدم القانون التالي :
( ص - ص1 ) = م ( س - س1 )
مثال ( 4 - 13) كتاب الطالب للصف الأول الثانوي ص172 جـ1
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 1 ، 2 ) بميل -3
الحل :
نقوم بالتعويض في القانون السابق نجد أن :
المعادلةهي : ( ص - 2 ) = - 3 ( س - 1 )
يعطينا : ( ص - 2 ) = - 3 س +3
ص + 3 س -5 =0
لاحظ عزيزي الطالب أن كتاب الطالب قام بحل المثال باستخدام القاعدة السابقة :
ص = أ س + ب
والآن ماعليك إلا تحميل حلول التمارين من : 24 إلى 29
الفقرات من : 24 إلى 29
اضغط هنا للتحميل
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة مستقيم بمعرفة نقطة تقع عليه ومستقيم موازي له
ابني الطالب العزيز هنا قاعدة ينبغي عليك تذكرها ألا وهي :
ميل المستقيم المراد إيجاد معادلته = ميل المستقيم الموازي
ثم نقوم بتطبيق الفقرة السابقة [ معرفة ميل ونقطة ]
مثال :تمرين ( 46 ) ص 178 من كتاب الطالب للصف الأول الثانوي جـ1
ل يوازي المستقيم 2 س - 3 ص = 6 ويمر بالنقطة ( 7 ، 2 )
في هذه الحالةعزيزي الطالب ينبغي التنبيه إلى كيفية استنتاج ميل مستقيم ما من خلال معرفة معادلته وهو باستخدام القاعدة التالية :
- معامل س ÷ معامل ص = ميل المستقيم ( بشرط أن يكون س وَ ص في طرف واحد )
في المعادلة السابقة نجد أن :
ميل المستقيم المعطى = ( - 2 ) ÷ ( - 3 )
ميل المستقيم = 2/3
نعوض في القانون السابق :
( ص - 2 ) = 2/3 ( س - 7 )
ص - 2 = 2/3 س - 14/3
ص - 2/3 س -25/14 = 0
مثال آخر :
أوجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ( 2 ، -5 ) ويوازي المستقيم : 2 ص = - 8 س +4
الحل : ميل المستقيم المعطى = - معامل س ÷ معامل ص
نضع أولاً المتغيرين : س ، ص في طرف واحد :
كالتالي : 2 ص + 8 س = 4
أذن ميل المستقيم يكون = ( - 8 ) ÷ 2 = - 4
ميل المستقيم = - 4
معادلة المستقيم هي :
( ص + 5 ) = - 4 ( س - 2 )
ص + 5 = - 4 س + 8
ص + 4 س - 3 = 0
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة مستقيم بمعرفة نقطة تقع عليه ومستقيم عمودي عليه
بالمثل يوجد هنا قاعدة ينبغي عليك عزيزي الطالب تذكرها ألا وهي :
ميل المستقيم × ميل المستقيم العمودي عليه = -1
ثم نقوم بالتعويض في القاعدة الموجودة في الفقرة السابقة [ ميل ونقطة ]
مثال :
أوجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ( -2 ، 1 ) وعمودي على
المستقيم : 2ص-4س+1=0
الحل :
ميل المستقيم المعطى = 4 ÷ 2 = 2
ميل المستقيم العمودي عليه = -½ = -0.5
بالتعويض في القانون المشار إليه نجد أن :
( ص - 1 ) = - 0.5 ( س + 2 )
ص - 1 = - 0.5 س - 1
ص + 0.5 س = 0
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة مستقيم بمعرفة كلٍ من الجزء المقطوع من المحورين : السيني وَ الصادي
عزيزي المعلم وابني الطالب دعنا نبدأ بمثال في هذه الحالة بقصد التنوع لأن البقاء على نمط واحد يورث البلادة من هذا الشيء ولذلك :
مثال :
أوجد معادلة المستقيم الذي يقطع من محور السينات 3 ومن محور الصادات -2
الحل :
من المعلمين من يعتبره مستقيم يمر بالنقطتين : ( 3 ، 0 ) ، ( 0 ، - 2 )
ويطبق القاعدة الأولى في هذا الدرس وهي :
بالتعويض : ( 0 + 2 ) ÷ ( 3 - 0 ) = ( ص - 0 ) ÷ ( س - 3 )
يعطينا : 2/3 = ص ÷ ( س -3 )
ويعطي : 3 ص = 2 س - 6
المعادلة هي : 3 ص - 2 س + 6 = 0
وبعض المعلمين يستخدم القانون التالي :
( س ÷ أ ) + ( ص ÷ ب ) = 1
حيث أ : الجزء المقطوع من محور س ، ب : الجزء المقطوع من محور ص
الآن نريد حل المثال السابق :
( س ÷ 3 ) + ( ص ÷ ( -2) ) = 1
( س ÷ 3 ) - ( ص ÷ 2 ) = 1
بتوحيد المقامات : ( 2 س - 3 ص ) ÷ 6 = 1
ضرب الوسطين = ضرب الطرفين
يعطينا : 2 س - 3 ص = 6
وعليه فالمعادلة هي : 2 س - 3 ص - 6 = 0
بـ× -1 نجد أن : 3 ص - 2 س + 6 = 0 ( وهي المعادلة السابقة نفسها )
--------------------------------------------------------------------------------
معادلة المستقيمين الموازيين لمحوري الأحداثيات : السيني و الصادي
معادلة محور السينات هي : ص = أ ( حيث أ الجزء المقطوع من محور الصادات )
معادلة محور الصادات هي : س = أ ( حيث أ الجزء المقطوع من محور السينات )
