درسنا سابقاً المثلث والمربع والمستطيل والدائرة وغيرها من الأشكال المستوية ذات البعدين، وكل منها تستطيع أن
× القاعدة × الا رتفاع
تجد مساحته عن طريق قانون خاص به فمساحة المثلث، مثلاً=
- مساحة المستطيل = طوله × عرضه وهكذا .
يوجد مقابل هذه السطوح المستوية : أشكالاً ذات ثلاثة أبعاد وأنت تشاهد وتتعامل يومياً مع الكثير من هذه الأشكال ، فعلب العصير ، وعلب محارم الورق، وخزانات الماء والبراميل، والأهرامات وغيرها، هي أشكال ذات ثلاثة أبعاد ولذلك فهي تحتل مكاناً في هذا الفضاء أي أنها أشكال لها حجوم . وسندرس تالياً عدداً من هذه الأشكال المنتظمة ونتعرف على القوانين الخاصة بحساب حجومها ومساحتها السطحية والجانبية .
تمهيد : لا بد وأنك تعرف أهرام مصر ، فهي إحدى عجائب الدنيا السبع ، ولا بد أنك تعرف شكلها الهندسي ومما تتكون فهو عبارة عن قاعدة مربعة الشكل وأوجهه مثلثات متساوية الساقين ، ولو أردنا تعريف الهرم القائم ، لقلنا إنه عبارة عن شكل له قاعدة منتظمة وله أوجه جانبية عبارة عن مثلثات متساوية الساقين عددها عدد أضلاع القاعدة وتلتقي رؤوسها في نقطة واحدة هي رأس الهرم ، يسمى ارتفاع المثلث المتساوي الساقين بالارتفاع الجانبي للهرم أما ارتفاع الهرم فهو الخط العمودي النازل من رأسه على قاعدته . ولتوضيح صورة الهرم لديك انظر الأشكال التالية :
وهناك هرم ثلاثي وسداسي والذي يحدد نوع الهرم هو عدد أضلاع قاعدته .
وسوف نبحث معاً في إيجاد مساحة سطح الهرم الخارجية وكذلك حجم الهرم القائم ؟
أولاً : مساحة سطح الهرم الخارجية :
لاحظ أن المساحة الجانبية للهرم عبارة عن مثلثات أي أن المساحة الجانبية للهرم = عدد المثلثات × مساحة المثلث
حيث أن عدد المثلثات هو نفسه عدد أضلاع القاعدة .
أي أنّ : المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحة المثلثات التي هي أوجه الهرم
لكن قواعد هذه المثلثات ليست سوى أضلاع قاعدته .
× محيط قاعدة الهرم × الارتفاع الجانبي للهرم .
=
أمثلة :
1.هرم رباعي قائم مساحة أحد أوجهه 20 سم2 ، فما مساحته الجانبية ؟
الحل :
الأوجه هنا 4 مثلثات متطابقة ، وبما أن مساحة الواحدة منها = 20 سم2 إذن :
مساحة الهرم الجانبية = مساحة أحد الأوجه × عدد الأوجه
= 20 × 4 = 80 سم2 .
2. هرم خماسي طول ضلع قاعدته 3 سم وارتفاعه الجانبي 6 سم احسب مساحة سطحه الخارجية ؟
محيط القاعدة × الارتفاع
الحل : مساحة سطح الهرم الخارجية =
( 5 × 3 ) × 6
=
= 15 × 3 = 45 سم2 .
3. هرم سداسي ارتفاعه الجانبي 16 سم ، وطول قاعدته 14 سم . أوجد مساحته الجانبية
× ( محيط القاعدة ) × الارتفاع الجانبي
الحل: المساحة الجانبية للهرم =
× ( 6 × 14) × 16
=
= 3 × 14 × 16 = 672 سم2 .
سؤال : ماذا نسمي كل من هذه الأشكال ؟؟
إن جميع الأشكال السابقة تتكون من قاعدتين دائريتين متقابلتين متطابقتين ومستطيل يصل بين الدائرتين وتكون الشبكة على الشكل التالي :
ويسمى هذا الشكل بالأسطوانة الدائرية القائمة .
والآن قد عرفت ما هي الأسطوانة الدائرية القائمة سوف نبحث ( في إيجاد مساحة سطحها الخارجي ومن ثم إيجاد حجمها ) .
أولاً : مساحة سطح الأسطوانة :
لكي نتمكن من حساب مساحة سطح الأسطوانة الخارجي ، نأخذ أسطوانة من الورق الرقيق على شكل أسطوانة دائرية قائمة كما في الشكل المجاور .
قص السطح الجانبي للأسطوانة على طول الخط أ ب ، ماذا تلاحظ ؟ سوف يكون عندك الشكل التالي :
الشكل الناتج بعد القص هو عبارة عن مستطيل و دائرتين متقابلتين متطابقتين حيث يمثل المستطيل المساحة الجانبية للأسطوانة وتمثل الدائرتان مساحة القاعدتين .والمستطيل الناتج يكون أحد أبعاده ارتفاع الأسطوانة والبعد الآخر هو محيط قاعدة الأسطوانة .
تمهيد : ذهب علي مع عائلته إلى حديقة الألعاب ، وعندما رأى علي بائع البوشار طلب منه أبوه أن يذهب ويشتري من بائع البوشار ، فأخذ من أبيه ( 100 فلس ) وذهب إلى بائع البوشار ليشتري منه ، وعندما ذهب علي إلى البائع ، وطلب منه أن يعطيه البوشار ، وضع له البائع البوشار في لفافة ورقية على الشكل التالي .
ما اسم هذا الشكل ؟ وما هو مكوناته ؟
إن هذا الشكل يدعى بالمخروط الدائري القائم . وللتعرف على مكوناته دعنا نقوم بالنشاط التالي :
1. أحضر قطعة من الورق على شكل دائرة .
2. اقتطع من تلك الورقة قطاع دائري كما في الشكل .
3. لف القطاع حتى ينطبق م أ على م ب ثم ألصق م أ مع م ب .
افتح الشكل واجعل قاعدته دائرية تحصل على شكل حجمي هو المخروط .
مفاهيم ومصطلحات خاصة بالمخروط :
1. م رأس المخروط .
2. أ م راسم المخروط وطوله (ل) .
3. القوس أ ب جـ قاعدة المخروط الدائري وطوله = محيط القاعدة .
4.م د ارتفاع المخروط ويرمز له بالرمز (ع) حيث د مركز الدائـرة التي هي قاعدة المخروط
× القاعدة × الا رتفاع
تجد مساحته عن طريق قانون خاص به فمساحة المثلث، مثلاً=
- مساحة المستطيل = طوله × عرضه وهكذا .
يوجد مقابل هذه السطوح المستوية : أشكالاً ذات ثلاثة أبعاد وأنت تشاهد وتتعامل يومياً مع الكثير من هذه الأشكال ، فعلب العصير ، وعلب محارم الورق، وخزانات الماء والبراميل، والأهرامات وغيرها، هي أشكال ذات ثلاثة أبعاد ولذلك فهي تحتل مكاناً في هذا الفضاء أي أنها أشكال لها حجوم . وسندرس تالياً عدداً من هذه الأشكال المنتظمة ونتعرف على القوانين الخاصة بحساب حجومها ومساحتها السطحية والجانبية .
تمهيد : لا بد وأنك تعرف أهرام مصر ، فهي إحدى عجائب الدنيا السبع ، ولا بد أنك تعرف شكلها الهندسي ومما تتكون فهو عبارة عن قاعدة مربعة الشكل وأوجهه مثلثات متساوية الساقين ، ولو أردنا تعريف الهرم القائم ، لقلنا إنه عبارة عن شكل له قاعدة منتظمة وله أوجه جانبية عبارة عن مثلثات متساوية الساقين عددها عدد أضلاع القاعدة وتلتقي رؤوسها في نقطة واحدة هي رأس الهرم ، يسمى ارتفاع المثلث المتساوي الساقين بالارتفاع الجانبي للهرم أما ارتفاع الهرم فهو الخط العمودي النازل من رأسه على قاعدته . ولتوضيح صورة الهرم لديك انظر الأشكال التالية :
وهناك هرم ثلاثي وسداسي والذي يحدد نوع الهرم هو عدد أضلاع قاعدته .
وسوف نبحث معاً في إيجاد مساحة سطح الهرم الخارجية وكذلك حجم الهرم القائم ؟
أولاً : مساحة سطح الهرم الخارجية :
لاحظ أن المساحة الجانبية للهرم عبارة عن مثلثات أي أن المساحة الجانبية للهرم = عدد المثلثات × مساحة المثلث
حيث أن عدد المثلثات هو نفسه عدد أضلاع القاعدة .
أي أنّ : المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحة المثلثات التي هي أوجه الهرم
لكن قواعد هذه المثلثات ليست سوى أضلاع قاعدته .
× محيط قاعدة الهرم × الارتفاع الجانبي للهرم .
=
أمثلة :
1.هرم رباعي قائم مساحة أحد أوجهه 20 سم2 ، فما مساحته الجانبية ؟
الحل :
الأوجه هنا 4 مثلثات متطابقة ، وبما أن مساحة الواحدة منها = 20 سم2 إذن :
مساحة الهرم الجانبية = مساحة أحد الأوجه × عدد الأوجه
= 20 × 4 = 80 سم2 .
2. هرم خماسي طول ضلع قاعدته 3 سم وارتفاعه الجانبي 6 سم احسب مساحة سطحه الخارجية ؟
محيط القاعدة × الارتفاع
الحل : مساحة سطح الهرم الخارجية =
( 5 × 3 ) × 6
=
= 15 × 3 = 45 سم2 .
3. هرم سداسي ارتفاعه الجانبي 16 سم ، وطول قاعدته 14 سم . أوجد مساحته الجانبية
× ( محيط القاعدة ) × الارتفاع الجانبي
الحل: المساحة الجانبية للهرم =
× ( 6 × 14) × 16
=
= 3 × 14 × 16 = 672 سم2 .
سؤال : ماذا نسمي كل من هذه الأشكال ؟؟
إن جميع الأشكال السابقة تتكون من قاعدتين دائريتين متقابلتين متطابقتين ومستطيل يصل بين الدائرتين وتكون الشبكة على الشكل التالي :
ويسمى هذا الشكل بالأسطوانة الدائرية القائمة .
والآن قد عرفت ما هي الأسطوانة الدائرية القائمة سوف نبحث ( في إيجاد مساحة سطحها الخارجي ومن ثم إيجاد حجمها ) .
أولاً : مساحة سطح الأسطوانة :
لكي نتمكن من حساب مساحة سطح الأسطوانة الخارجي ، نأخذ أسطوانة من الورق الرقيق على شكل أسطوانة دائرية قائمة كما في الشكل المجاور .
قص السطح الجانبي للأسطوانة على طول الخط أ ب ، ماذا تلاحظ ؟ سوف يكون عندك الشكل التالي :
الشكل الناتج بعد القص هو عبارة عن مستطيل و دائرتين متقابلتين متطابقتين حيث يمثل المستطيل المساحة الجانبية للأسطوانة وتمثل الدائرتان مساحة القاعدتين .والمستطيل الناتج يكون أحد أبعاده ارتفاع الأسطوانة والبعد الآخر هو محيط قاعدة الأسطوانة .
تمهيد : ذهب علي مع عائلته إلى حديقة الألعاب ، وعندما رأى علي بائع البوشار طلب منه أبوه أن يذهب ويشتري من بائع البوشار ، فأخذ من أبيه ( 100 فلس ) وذهب إلى بائع البوشار ليشتري منه ، وعندما ذهب علي إلى البائع ، وطلب منه أن يعطيه البوشار ، وضع له البائع البوشار في لفافة ورقية على الشكل التالي .
ما اسم هذا الشكل ؟ وما هو مكوناته ؟
إن هذا الشكل يدعى بالمخروط الدائري القائم . وللتعرف على مكوناته دعنا نقوم بالنشاط التالي :
1. أحضر قطعة من الورق على شكل دائرة .
2. اقتطع من تلك الورقة قطاع دائري كما في الشكل .
3. لف القطاع حتى ينطبق م أ على م ب ثم ألصق م أ مع م ب .
افتح الشكل واجعل قاعدته دائرية تحصل على شكل حجمي هو المخروط .
مفاهيم ومصطلحات خاصة بالمخروط :
1. م رأس المخروط .
2. أ م راسم المخروط وطوله (ل) .
3. القوس أ ب جـ قاعدة المخروط الدائري وطوله = محيط القاعدة .
4.م د ارتفاع المخروط ويرمز له بالرمز (ع) حيث د مركز الدائـرة التي هي قاعدة المخروط
