نظرية الأعداد هو فرع من الرياضيات يهتم بخصائص الأعداد الصحيحة، سواء كانت طبيعية أو نسبية، وتتضمن عدة مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين. بصفة عامة، المجال الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة الأعداد الطبيعية. من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب الطريقة المستعملة ونوع المسألة. فهي فرع من فروع الرّياضيات تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.
عند الإطلاق، نظرية الأعداد تدرس قابلية القسمة والأوليّة والتحليل (إلى جداء عوامل أولية). كما تدرس خواص التجزئة وما قارب ذلك. ويوجد فروع أخرى نذكر منها نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء والأعداد المتسامية ونظرية التحليل في التوسيعات الجبرية وغير هذا، ونظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية) حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية مثلا، انظر دالّة زيتا.
انظر مثلا قائمة بمجالات نظرية الأعداد.
المفهوم «حسابيات» مستعمل كمرجع لمبرهنة الأعداد وهو مفهوم قديم جدا.المبرهنة البدائية للأعداد
في هذا المجال، تدرس الأعداد دون اللجوء لتقنيات آتية من فروع أخرى للرياضيات. مسألة قابلية القسمة، خوارزمية إقليدس تمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر ، تفكيك الأعداد إلى أعداد أولية, البحث عن الأعداد المثالية والتقريب تنتمي لهذا المجال.
النتائج هي مبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أولير, ثم مبرهنة الباقي الصيني وقانون الإنعكاس الرباعي. خاصيات الدوال الجذائية مثل دالة ميبيس ودالة أولير تمت دراستها ; وأيضا المتتاليات مثل عاملي وأعداد فيبوشى.
عدة مسائل المبرهنة البدائية للأعداد تبدو بسيطة تحتاج لتعمق في الرياضيات ولمقاربات جديدة. كما في المثلة الآتية :
حدسية غولدباخ الخاصة بالأعداد الزوجية كجمع عددين أوليين,
حدسية كاتالان الخاصة بأس أعداد طبيعية متتالية,
حدسية التوأمين الأولية التي تقول أن مجموعة الأعداد الأولية التوأم غير منتهية, و* حدسية سيراكيز الخاصة بمتتالية بسيطة.
مبرهنة 'المعادلة الديوفانية تم البرهنة على أنها غير محددة (انظر مسائل هيلبرت).
المبرهنة التحليلية للأعداد
تستعمل أدوات الحساب والتحليل العقدي, لدراسة مسائل حول الأعداد الطبيعية. مبرهنة الأعداد الأولية وفرضية ريمان هي بعض الأمثلة.
حدسية التوأمين الأولية
حدسية غولدباخ
تم معالجتها بواسطة طرق تحليلية. الدليل على كون أعداد مثل عدد بي وعدد أولير هي أعداد لا يمكنها أن تكون حلولا لأي معادلة جبرية تم تصنيفها في هذا الإطار أي تحليل الأعداد.
في حين النتائج الخاصة بالأعداد التي ليس حلا لأي معادلة جبرية, تبدو خارج دراسة الأعداد الطبيعية.
المبرهنة الجبرية للأعداد
في هذا الحقل، مفهوم الأعداد تم إضافة مصطلح الأعداد الجبرية، التي هي جذور المعادلات الحدودية ذات معاملات نسبية. كما نجد مفهوما مقاربا وهو الأعداد الطبيعية الجبرية.
عدة مواضيع تم التعامل معها باستعمال الموافقة بترديد، مما أدى لظهور المبرهنة الجبرية للأعداد.
المبرهنة الهندسية للأعداد
يمكن تسميتها هندسة الأعداد، تتضمن جميع أشكال الهندسة. نجد في هذا المجال مبرهنة مينكوفسكي الخاصة بشبكة النقط في شكل محدب. الهندسة الجبرية والجسم الإهليلجي، يتم أيضا استعمالها في هذا المجال من دراسة الأعداد. ومبرهنة فيرما الأخيرة والشهيرة تم البرهنة على صحتها اعتمادا على هذه التقنيات.
عند الإطلاق، نظرية الأعداد تدرس قابلية القسمة والأوليّة والتحليل (إلى جداء عوامل أولية). كما تدرس خواص التجزئة وما قارب ذلك. ويوجد فروع أخرى نذكر منها نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء والأعداد المتسامية ونظرية التحليل في التوسيعات الجبرية وغير هذا، ونظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية) حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية مثلا، انظر دالّة زيتا.
انظر مثلا قائمة بمجالات نظرية الأعداد.
المفهوم «حسابيات» مستعمل كمرجع لمبرهنة الأعداد وهو مفهوم قديم جدا.المبرهنة البدائية للأعداد
في هذا المجال، تدرس الأعداد دون اللجوء لتقنيات آتية من فروع أخرى للرياضيات. مسألة قابلية القسمة، خوارزمية إقليدس تمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر ، تفكيك الأعداد إلى أعداد أولية, البحث عن الأعداد المثالية والتقريب تنتمي لهذا المجال.
النتائج هي مبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أولير, ثم مبرهنة الباقي الصيني وقانون الإنعكاس الرباعي. خاصيات الدوال الجذائية مثل دالة ميبيس ودالة أولير تمت دراستها ; وأيضا المتتاليات مثل عاملي وأعداد فيبوشى.
عدة مسائل المبرهنة البدائية للأعداد تبدو بسيطة تحتاج لتعمق في الرياضيات ولمقاربات جديدة. كما في المثلة الآتية :
حدسية غولدباخ الخاصة بالأعداد الزوجية كجمع عددين أوليين,
حدسية كاتالان الخاصة بأس أعداد طبيعية متتالية,
حدسية التوأمين الأولية التي تقول أن مجموعة الأعداد الأولية التوأم غير منتهية, و* حدسية سيراكيز الخاصة بمتتالية بسيطة.
مبرهنة 'المعادلة الديوفانية تم البرهنة على أنها غير محددة (انظر مسائل هيلبرت).
المبرهنة التحليلية للأعداد
تستعمل أدوات الحساب والتحليل العقدي, لدراسة مسائل حول الأعداد الطبيعية. مبرهنة الأعداد الأولية وفرضية ريمان هي بعض الأمثلة.
حدسية التوأمين الأولية
حدسية غولدباخ
تم معالجتها بواسطة طرق تحليلية. الدليل على كون أعداد مثل عدد بي وعدد أولير هي أعداد لا يمكنها أن تكون حلولا لأي معادلة جبرية تم تصنيفها في هذا الإطار أي تحليل الأعداد.
في حين النتائج الخاصة بالأعداد التي ليس حلا لأي معادلة جبرية, تبدو خارج دراسة الأعداد الطبيعية.
المبرهنة الجبرية للأعداد
في هذا الحقل، مفهوم الأعداد تم إضافة مصطلح الأعداد الجبرية، التي هي جذور المعادلات الحدودية ذات معاملات نسبية. كما نجد مفهوما مقاربا وهو الأعداد الطبيعية الجبرية.
عدة مواضيع تم التعامل معها باستعمال الموافقة بترديد، مما أدى لظهور المبرهنة الجبرية للأعداد.
المبرهنة الهندسية للأعداد
يمكن تسميتها هندسة الأعداد، تتضمن جميع أشكال الهندسة. نجد في هذا المجال مبرهنة مينكوفسكي الخاصة بشبكة النقط في شكل محدب. الهندسة الجبرية والجسم الإهليلجي، يتم أيضا استعمالها في هذا المجال من دراسة الأعداد. ومبرهنة فيرما الأخيرة والشهيرة تم البرهنة على صحتها اعتمادا على هذه التقنيات.
