حساب التباديل
سؤالنا عن ¸عدد مجموعات الأحرف التي يمكن تشكيلها من الأحرف الثلاثة أ ، ب، جـ· هو سؤالنا نفسه عن عدد التباديل الممكنة لثلاثة أشياء يؤخذ 3 منها في كل مرة. وبالإمكان الإجابة عن هذا السؤال عن طريق 1- حصر كل الاحتمالات الممكنة 2-التفكير الاستنتاجي 3- استخدام الصيغ الرياضية.
طريقة الحصر. كل ما تحتاجه لإيجاد الجواب هنا هو كتابة كل الاحتمالات الممكنة ومن ثم عدها. وتوضح القائمة أدناه وجود ستة احتمالات، وبالتالي فهناك 6 تباديل لثلاثة أشياء تؤخذ 3 منها في كل مرة.
--------------------------------------------------------------------------------
أ ب جـ ب أ جـ جـ أ ب
أ جـ ب ب جـ أ جـ ب أ
ويمكن أيضًا حصر الاحتمالات الممكنة على هيئة رسم تفرعي غير مقفل يبين خيارات كل خانة.
ويبين الرسم مرة أخرى أن هناك 6 تباديل ممكنة.
طريقة التفكير الاستنتاجي. يمكن أيضًا إيجاد عدد التباديل بوساطة التفكير الاستنتاجي. للخانة الأولى 3 خيارات محتملة هي أ، ب، جـ . ولكل من هذه الخيارات خياران آخران فقط لملء الخانة الثانية، بمجموع 3 × 2 = 6 خيارات. ومع كل واحد من هذه الاحتمالات الستة، يوجد خيار محتمل واحد للخانة الثالثة. أي بمجموع 6×1=6. ولذا فإن عدد احتمالات مجموعات الأحرف تساوي 3 × 2 × 1 = 6.
واللجوء إلى الاستنتاج أفضل من مجرد حصر التباديل لأن التفكير الاستنتاجي يأخذ في الاعتبار كل الاحتمالات الممكنة، بينما قد يغفل أحدها أثناء الحصر، خاصة إذا كان لدينا عدد كبير من الأشياء.
لنفترض مثلاً أن لدينا 26 حرفـًـا بدلا من الأحرف الثلاثة أ ب جـ ، وطلب منا إيجاد إجمالي عدد المجموعات المحتملة والمكونة من 3 أحرف. نلاحظ أن حصر كل الاحتمالات صعب وممل بينما يمكن إيجاد الجواب بسهولة عن طريق التفكير الاستنتاجي. فكل احتمال من 26 خيارًا محتملاً يقع في الخانة الأولى يقابله 25 خيارًا في الخانة الثانية، وهذا يشكل ما مجموعه 650 احتمالا (26×25= 650). ولكل من هذه الـ 650 خيارًا، يتبقى 24 حرفـًا محتملاً لشغل الخانة الثالثة، أي ما مجموعه 15,600 تشكيل محتمل (650 × 24 = 15600). وبالتالي فعدد التباديل الإجمالي يساوي 26 × 25 × 24= 15,600.
يوضح المثال السابق قانون الضرب للتباديل : إذا كان يمكن ملء الخانة الأولى بـ ن من الطرق، ويمكن ملء الثانية بـ (ن - 1) من الطرق، والثالثة بـ (ن - 2) من الطرق، فإن عدد التباديل الإجمالي في الخانات الثلاث يساوي ن × (ن - 1) × (ن - 2).
لنفترض أن لدينا ما لايقل عن ثلاثة أحرف من كل من الحروف أ، ب، ج. كم مجموعة يمكن تشكيلها بحيث تتضمن كل مجموعة 3 أحرف ؟ (من هذه المجموعات أ أ أ، أ أ ب ، أ ب ب ...إلخ). في هذا المثال، يمكن ملء كل خانة بثلاث طرق مختلفة، وبالتالي يمكن حساب النتيجة : 3 × 3 × 3 = 27 مجموعة. وفي حالة وجود 26 حرفـًا بما لايقل عن ثلاثة من كل منها، فإنه يمكن تكوين 26 × 26 × 26 = 17,576 مجموعة.
استخدام الرموز والمعادلات. رياضيـًا، يمثل الرمز نلر (أحيانـًا يكتب نلر) عدد تباديل ن من الأشياء مأخوذ ر منها في كل مرة. وباستخدام هذا الرمز يمكن صياغة الإجابة على مسائل التباديل على النحو :
3 أشياء (مثل أ، ب، جـ ) مأخوذة 3 في كل مرة:
3 ل 3 = 3 × 2 × 1 = 6
26 شيئًا مأخوذة 3 من المرات:
26 ل 3 = 26 × 25 × 24 = 15,600
ن شيء مأخوذة ر من المرات:
ن ل ر = ن (ن-1) (ن-2) 000 [ن - (ر - 1)].
والصيغة الأخيرة هي الصورة العامة. أما المقدار الأخير [ن - (ر - 1)] فيعني ن مطروحـًا منها (ر-1)، وهو من الناحية الجبرية مساوٍ للمقدار (ن-ر+1). وهذا المقدار يعد بمثابة مؤشر يبين متى نتوقف عن كتابة عوامل الضرب المتتابعة في المعادلة. فمثلاً إذا كانت ن = 26، ر=3، فإن ( ن -ر +1) =26-3+1= 24، وبالتالي فـإن عوامل الضرب لـ 26ل3 هي 26 × 25 × 24.
سؤالنا عن ¸عدد مجموعات الأحرف التي يمكن تشكيلها من الأحرف الثلاثة أ ، ب، جـ· هو سؤالنا نفسه عن عدد التباديل الممكنة لثلاثة أشياء يؤخذ 3 منها في كل مرة. وبالإمكان الإجابة عن هذا السؤال عن طريق 1- حصر كل الاحتمالات الممكنة 2-التفكير الاستنتاجي 3- استخدام الصيغ الرياضية.
طريقة الحصر. كل ما تحتاجه لإيجاد الجواب هنا هو كتابة كل الاحتمالات الممكنة ومن ثم عدها. وتوضح القائمة أدناه وجود ستة احتمالات، وبالتالي فهناك 6 تباديل لثلاثة أشياء تؤخذ 3 منها في كل مرة.
--------------------------------------------------------------------------------
أ ب جـ ب أ جـ جـ أ ب
أ جـ ب ب جـ أ جـ ب أ
ويمكن أيضًا حصر الاحتمالات الممكنة على هيئة رسم تفرعي غير مقفل يبين خيارات كل خانة.
ويبين الرسم مرة أخرى أن هناك 6 تباديل ممكنة.
طريقة التفكير الاستنتاجي. يمكن أيضًا إيجاد عدد التباديل بوساطة التفكير الاستنتاجي. للخانة الأولى 3 خيارات محتملة هي أ، ب، جـ . ولكل من هذه الخيارات خياران آخران فقط لملء الخانة الثانية، بمجموع 3 × 2 = 6 خيارات. ومع كل واحد من هذه الاحتمالات الستة، يوجد خيار محتمل واحد للخانة الثالثة. أي بمجموع 6×1=6. ولذا فإن عدد احتمالات مجموعات الأحرف تساوي 3 × 2 × 1 = 6.
واللجوء إلى الاستنتاج أفضل من مجرد حصر التباديل لأن التفكير الاستنتاجي يأخذ في الاعتبار كل الاحتمالات الممكنة، بينما قد يغفل أحدها أثناء الحصر، خاصة إذا كان لدينا عدد كبير من الأشياء.
لنفترض مثلاً أن لدينا 26 حرفـًـا بدلا من الأحرف الثلاثة أ ب جـ ، وطلب منا إيجاد إجمالي عدد المجموعات المحتملة والمكونة من 3 أحرف. نلاحظ أن حصر كل الاحتمالات صعب وممل بينما يمكن إيجاد الجواب بسهولة عن طريق التفكير الاستنتاجي. فكل احتمال من 26 خيارًا محتملاً يقع في الخانة الأولى يقابله 25 خيارًا في الخانة الثانية، وهذا يشكل ما مجموعه 650 احتمالا (26×25= 650). ولكل من هذه الـ 650 خيارًا، يتبقى 24 حرفـًا محتملاً لشغل الخانة الثالثة، أي ما مجموعه 15,600 تشكيل محتمل (650 × 24 = 15600). وبالتالي فعدد التباديل الإجمالي يساوي 26 × 25 × 24= 15,600.
يوضح المثال السابق قانون الضرب للتباديل : إذا كان يمكن ملء الخانة الأولى بـ ن من الطرق، ويمكن ملء الثانية بـ (ن - 1) من الطرق، والثالثة بـ (ن - 2) من الطرق، فإن عدد التباديل الإجمالي في الخانات الثلاث يساوي ن × (ن - 1) × (ن - 2).
لنفترض أن لدينا ما لايقل عن ثلاثة أحرف من كل من الحروف أ، ب، ج. كم مجموعة يمكن تشكيلها بحيث تتضمن كل مجموعة 3 أحرف ؟ (من هذه المجموعات أ أ أ، أ أ ب ، أ ب ب ...إلخ). في هذا المثال، يمكن ملء كل خانة بثلاث طرق مختلفة، وبالتالي يمكن حساب النتيجة : 3 × 3 × 3 = 27 مجموعة. وفي حالة وجود 26 حرفـًا بما لايقل عن ثلاثة من كل منها، فإنه يمكن تكوين 26 × 26 × 26 = 17,576 مجموعة.
استخدام الرموز والمعادلات. رياضيـًا، يمثل الرمز نلر (أحيانـًا يكتب نلر) عدد تباديل ن من الأشياء مأخوذ ر منها في كل مرة. وباستخدام هذا الرمز يمكن صياغة الإجابة على مسائل التباديل على النحو :
3 أشياء (مثل أ، ب، جـ ) مأخوذة 3 في كل مرة:
3 ل 3 = 3 × 2 × 1 = 6
26 شيئًا مأخوذة 3 من المرات:
26 ل 3 = 26 × 25 × 24 = 15,600
ن شيء مأخوذة ر من المرات:
ن ل ر = ن (ن-1) (ن-2) 000 [ن - (ر - 1)].
والصيغة الأخيرة هي الصورة العامة. أما المقدار الأخير [ن - (ر - 1)] فيعني ن مطروحـًا منها (ر-1)، وهو من الناحية الجبرية مساوٍ للمقدار (ن-ر+1). وهذا المقدار يعد بمثابة مؤشر يبين متى نتوقف عن كتابة عوامل الضرب المتتابعة في المعادلة. فمثلاً إذا كانت ن = 26، ر=3، فإن ( ن -ر +1) =26-3+1= 24، وبالتالي فـإن عوامل الضرب لـ 26ل3 هي 26 × 25 × 24.
